基于物理的深度学习 — 全书拆解
30 秒导读: 这本书回答一个很具体的问题:当我们想让电脑「学着」去算物理 —— 算烟怎么飘、水怎么流、机翼周围的气流长什么样 —— 学来的那部分和早就写在纸上的物理定律,应该在哪一个环节碰头?
先把「学」这个字换成实在东西。干这件事的是神经网络: 一大堆可以逐个往上下拨动的数,输入从一头进去、挨个经过这些数、结果从另一头出来。
而所谓训练,做法朴素得出奇: 给它一道题,看它答得离正确答案差多远, 把每个数朝「差得少一点」的方向挪一丁点,换下一道题,重复很多很多次。 没有人告诉它规则,规则是这么试出来的副产品。
它不是「AI 会不会取代仿真」的科普,作者对那个问题的回答只有一句「这种担心没有根据」。 它真正的价值是一条从头贯到尾的论证:从一个五行代码就能复现的玩具例子出发, 一步步逼出「必须把数值求解器整个搬进训练过程」这个结论; 而全书最后回头质疑了一件天经地义的事 —— 训练时那个「往哪挪一丁点」的量,本身算得对吗?
本组文档是我们重写的完整拆解,二十章。读完不必看原书。 你不需要任何流体力学或深度学习基础,遇到的词都在当场解释。
1. 先交代清楚:这是谁在什么时候写的
| 作者 | 八个人,第一作者与维护人是 Nils Thuerey;其余七位是他的同事与学生1 |
| 出处 | 慕尼黑工业大学(TUM)基于物理的仿真研究组,不是出版社约稿2 |
| 时间 | 2021 年首版,本次拆解依据的是 2025 年的 v0.3「生成式 AI 版」3 |
| 形态 | 网上免费公开,每一章配一个可以直接运行的代码本;书里所有数字都是真跑出来的输出4 |
| 篇幅 | 461 页 / 49 章 / 76 万字符 —— 但其中四成以上是代码和训练日志 |
三件事必须先说,否则会误读这本书:
第一,这是一个研究组在讲自己这些年做的工作。 书里几乎每一处「我们的方法赢了对照组」,被比的和赢的都出自同一个组 —— 参考文献里自引占大头。这不是问题(他们确实是这个方向做得最久的组之一), 但读的时候要把「这是领域共识」和「这是这个组的判断」分开。我们在拆解里逐处标了。
第二,它有一处判断下得非常重,而且没有给反面证据。 对当下最有名的那一类做法(把物理方程写成损失函数、让网络本身充当解,业内叫 PINN), 书说它「经 过多年研究仍然解决不了真实世界的问题,这指向了这条路线的根本性问题」。 这句话我们原样传达,但要标明:这是作者的判断,而不是已经有定论的事。 近年为 PINN 提出的一大堆修补,书里一处都没有系统评估。(第 07 章)
第三,v0.3 新长出来的那一大块占了全书三分之一。 2021 年那一版讲到「求解器进训练环路」就收尾了;2025 年这一版在后面接上了 生成式模型(扩散、流匹配)那一整条线。读这本书要知道它是两层地质: 前半是打磨了四年的骨架,后半是新长出来的枝。
2. 全书一条主线(读完这一节,你就能把这本书讲给别人听)
不看后面任何一章,只读这一节,你也能把这本书的主张复述出来。 细节全留给章节,这里只讲「发生了什么、为什么只能这样」。
① 先说清楚这本书里的「仿真」是什么
天气预报、飞机选机翼、水从杯子里泼出来会怎么流 —— 这些没法用一个公式直接算出答案。 能做的是:把空间切成一格一格,把时间切成一小步一小步,然后一步一步往前推。 干这件事的那段程序,叫一个求解器。它很准,也很慢: 一次高保真的计算动辄几小时,而设计一个机翼要试几千种形状。
所以有人想:能不能训一个神经网络,直接从「机翼长什么样」跳到「气流长什么样」, 把中间那几小时省掉? 已经有工作做到了工业界要求的精度,而且比传统求解器快好几个数量级。
这本书就是从这个诱惑开始的 —— 然后立刻泼了一盆冷水。
② 那盆冷水:一道题有两个都对的答案时,常规训练必然给出一个都不对的
作者开篇给了一个五行代码的例子:求「平方」的反函数。 给你 x = 0.36,合法的答案有两个:+0.6 和 −0.6,两个都对。
常规的训练怎么做?给网络看一堆例题,看它答得离标准答案差多远,再把它往「差得少一点」的方向推。 可这里的标准答案一会儿是 +0.6、一会儿是 −0.6 —— 想同时离两个都近,唯一的出路是输出它们的中间值 0。
而 0 不是这道题的答案。它谁都不是。
这不是网络太小,也不是训练不够:书里那次训练的「差多远」从头到尾卡在 0.1002 一动不动, 那是训到头了的数,不是没训好的数。
有人会说这是人造的玩具题。作者的回应是烛火上方的那缕 烟: 它一开始笔直上升,然后必然朝某一侧偏 —— 朝左还是朝右,取决于计算误差怎么攒起来。 把「朝左」和「朝右」平均一下,你得到一股笔直的烟 —— 一股现实里根本不存在的流。 而这类「一个输入对多个都对的答案」在物理里到处都是, 你甚至常常不知道有几个、在哪儿。
这就是全书的起点:一道题的正确答案不止一个时,「学着更接近标准答案」这条路本身就是坏的。
③ 于是问题变成:物理该在什么位置进来
同一个例子里,作者换了一种训法就成了:不给标准答案,而是把网络吐出来的数拿去平方, 再看这个平方离题目给的 x 差多远。 这时候网络吐 +0.6 或者 −0.6 都能得满分, 它不再有理由去输出中间值。「差多远」从 0.1002 掉到 0.000002 —— 差了五万倍。
这一刀切开了全书。 区别不在网络,在于物理进到了哪一层:
| 物理在哪儿 | 我们哪几章 | |
|---|---|---|
| 第一档 | 只当数据车间:先用求解器算一堆题目和答案,然后把求解器扔掉 | 05 |
| 第二档 | 写进「怎么打分」:把网络的答案代回方程,看方程还成不成立 | 06–07 |
| 第三档 | 整个求解器搬进训练过程,每训一步都真的跑一遍仿真 | 08–10 |
这是原书 Part II 到 IV 的分法,也是全书前半的骨架。 (后面还有另外两条线,见第 ⑥、⑧ 步 —— 它们不在这三档里。)
④ 第一档能走多远:2.5%,以及一句很硬的祛魅
书拿一个真任务测了第一档:给定机翼形状和飞行条件,直接吐出周围的气流和压力。 训练只花了 5 分 40 秒,而在训练时没见过的机翼形状上,平均只差 2.5%。
这很好用。但书紧接着自己拆穿了它:有人问「这不就是在数据之间插值吗?」
「是啊,就是插值!而这正是神经网络该做的事。某种意义上,也没别的可做了。」
书还给了一条可以当场验的判据:你总拿 0 到 1 之间的输入训练它,就别指望它在 27 到 39 上还能用。
第一档真正的死穴在别处,而且是全书最重要的一处伏笔: 如果这个网络将来要和某个求解器搭伙干活 —— 网络改一下、求解器推一步、网络再改一下 —— 那它见到的输入,就是它自己刚刚造出来的东西,而不是当初预先算好的那批干净数据。 你训它用的世界和它将来要待的世界不是同一个。 书里管这叫分布漂移。
⑤ 第二档想治的是另一件事,而且只治了一半
第二档的动机不是治上面那个病,是治另一件浪费: 第一档必须先花几小时算出一堆标准答案才能开训,而物理定律本来就写在那儿。 第二档的做法是把网络的答案代回方程,看方程还成不成立 —— 于是一条标注数据都不用。
它确实成立(第 06 章里有一个从头到尾跑通的例子)。 但它只是「尽量让方程成立」,不是「保证方程成立」 —— 优化尽力而为,大的偏差可能一直留着。
而它最有名的那一支(就是 PINN),在同一道题上误差是第三档的三倍多, 换一道题就得从头训,还和几十年积累的数值方法基本不兼容。 书的原话:相比第一档,「我们在某种意义上退了一步」。
所以第 ④ 步埋下的分布漂移,到这里还欠着。
⑥ 第一个落点:把求解器整个搬进训练环路
第三档的做法是:让求解器不但能往前算,还能回答「如果输入变一点,输出会变多少」 —— 也就是给它装上交出梯度的能力。这套东西叫可微物理(differentiable physics), 是全书的中心词。
但真正决定成败的不是「可微」这个形容词,而是训练时往前跑几步。 误差在一步里小得看不见,却会随着一步步迭代慢慢放大 —— 只有让网络在训练时看到「自己这一下修正,在十几步之后把整个流场变成了什么样」,它才学得会。 这件事叫展开(unrolling)。
效果很硬:一个比第 ④ 步那个监督网络小一个数量级的小网络, 配一个粗糙、跑得快的求解器,在训练时没见过的飞行条件上连跑 100 步, 误差从 0.109 降到 0.031。(小到什么程度、粗到什么程度,第 10 章给数。)
顺带,这一步把第 ④ 步欠的账还上了: 网络见到的输入,正是它和求解器一起造出来的那些。 书里给「为什么可微物理有效」的最完整一句解释是: 它让训练中的模型能亲身探索和体验物理环境,从当场跑出来的新轨迹里算训练信号, 而不再依赖一份事先定死的数据。
⑦ 但第 ② 步那个缺口,一直原封不动地留着
到这里全书前半结束了。可回头看第 ② 步:那个抛物线的例子里, 第三档确实躲开了「输出中间值」,但它只拿到了两支中的一支 —— 拿上面那支还是下面那支,由随机初始化决定。
因为网络是个确定性的函数:一个输入进去,只有一个输出出来。 只要还是这个形状,它就永远表示不了「两个都对」。
⑧ 第二问:让网络吐一整个分布,而不是一个答案
这是 v0.3 新长出来的那一大块,也是和第 ③ 步那三档正交的另一把刀。 书没有直接给最终算法,而是把它一级级走了出来 —— 每一级都是被上一级的毛病逼出来的, 最后落在今天人人都在用的那两个名字上:去噪扩散和流匹配。 (这条演进链的每一级是什么、各自卡在哪里,第 11 到 13 章讲。)
它换来了什么,一句话说得清: 训练数据里两成的解向左旋、八成向右旋,训练好的网络会按这个比例把两种都生成出来 —— 而不是生成一个「不左不右」的、不存在的东西。这正是第 ② 步那盆冷水的解药。
还有一个意外的好处:这样训出来的网络,被自己接着自己的输出连调二十万步之后仍然不发散 —— 这是别的训练方法很难拿到的性质。代价是每出一个答案要反复调用网络几十上百次。
但它又把物理丢了: 训练时网络和仿真器之间没有任何反馈回路。 于是书把第 ⑥ 步的东西装了回来 —— 不在训练时装,在使用时装: 让一个比主网络小得多的小网络接收仿真器的反馈,一边生成一边纠。 在一个天体物理的真任务上(第 14 章),这套做法比最好的经典求解器又准又快约 35 倍。
⑨ 一个对照组:强化学习输在哪儿
书特意拿另一条路来比:不给梯度,只在事 后给一个分数,让网络自己试(强化学习)。 同一个任务、同样的规模,结果是三项全输 —— 出来的结果更噪、要施加的力更大、收敛慢得多。
输的原因值得记住:长期依赖由谁来管。 可微物理让梯度穿过仿真的每一步传回去,所以「我现在这一下会在十步后造成什么」是算出来的; 强化学习把仿真当成一个不给梯度的黑箱,只能另训一个网络去猜这件事。(第 17 章)
⑩ 第三问:那个「往哪挪一丁点」的量,本身算得对吗
走到这里,前两问都答完了。但有一件事从头到尾没被查过: 第 ④ 步的机翼、第 ⑥ 步的展开、第 ⑧ 步的扩散,每一次训练用的都是同一套梯度下降。 而第 ⑥ 步已经露过马脚:展开得越长,信号越难学、越容易失控。
书的诊断很锋利:梯度下降不是优化的起点,是终点 —— 它是从一个更强的老方法(牛顿法)一路砍东西砍下来的产物, 而砍到最后丢掉的那样东西,恰恰是求逆。
丢掉它在物理问题上尤其致命,因为物理过程几乎总是给不同的方向不同的放大倍数 (有些方向一动就天翻地覆,有些几乎没影响),而常规的更新施加的还是这个倍数的平方。
补回来有两条路:只把物理那一半反演回去,或者把网络和物理一起做「半个逆」。 在一个只有四个自由度的小振子上,后者的精度比常规做法 好约四个数量级。(第 18–19 章)
⑪ 三问在结尾被缝到了一起
书自己点破:补回求逆的那套更新「其实很像监督训练」, 只是更新量是训练时当场算出来的,并且避开了多个答案被平均掉 —— 也就是第 ② 步那条抛物线。 一本书从第一页的玩具例子出发,在最后一部分回到它。
作者给的收尾判断是:
深度学习不取代传统数值方法,而是增强它们。 「神经网络是不可穿透的黑箱」这个观念已经过时了 —— 它应该被看作又一个数值工具, 一个在被正确使用时、和传统仿真同样可解释的工具。5
3. 二十章地图
这张表不用记任何术语 —— 每一章的名字后面写的是「读完你能回答什么问题」。
| 章 | 读完你就能回答 |
|---|---|
| 01 一条抛物线看穿全书 | 一道题有两个都对的答案时,常规训练为什么必然给出一个都不对的?这一章是全书的种子,别跳 |
| 02 物理该在哪一层进来 | 「仿真」和「求解器」到底是什么东西?「反推」为什么比「预测」难? |
| 03 先把仿真跑起来 | 一步仿真里究竟发生了哪几件事?哪一步最贵(后面所有混合方法都在这一步下手) |
| 04 该选哪种网络 | 为什么「拿网络顶替求解器」是个明确的目标?选网络的第一刀该切在哪? |
| 05 第一档:天花板在哪 | 最省事的做法能做到多好?它训得再好也用不上的那个场合是什么? |
| 06 第二档:把物理写进打分 | 一条标注数据都不给,怎么训?为什么这样得到的物理约束只是「尽量」? |
| 07 给 PINN 算一笔账 | 那个最有名的做法到底是什么?书为什么对它下了全书最重的一句判断 |
| 08 求解器怎么交出梯度 | 「可微物理」这四个字具体是什么操作?它凭什么比 PINN 准三倍? |
| 09 展开 | 为什么训练时非得 让网络多往前跑几步?这是全书最重要的一个训练技巧 |
| 10 混合求解器与长程控制 | 四万参数的小网络怎么把一个粗糙求解器救回来?什么叫「硬约束」? |
| 11 换一把刀:学一整个分布 | 为什么前十章的做法天生表示不了「两个都对」?换成学分布要付什么代价? |
| 12 分数 | 不学「每个点有多可能」、只学「往哪走概率更大」,为什么会容易那么多? |
| 13 去噪扩散与流匹配 | 今天人人在说的这两个名字到底在做什么?它们谁快、快在哪? |
| 14 把物理弄回扩散里 | 为什么书主张在使用时而不是训练时加物理约束? |
| 15 为什么一直跑下去不炸 | 自己接自己的输出跑二十万步不发散,靠的是什么?展开要几步才够 |
| 16 图上的扩散与横评 | 七种方法摆在一起,差别在哪儿露出来?学均值谁都会,学分布才是分水岭 |
| 17 强化学习为什么输了 | 不给梯度、只事后打分那条路,输在哪一件具体的事情上? |
| 18 回头质疑梯度本身 | 梯度下降是怎么从一个更强的方法退化来的?退化时丢了什么? |
| 19 把求逆装回训练 | 丢掉的那样东西怎么补回来?补回来值不值? |
| 20 两条老路与结语 | 书没走的两条路各是什么?为什么「用两个网络互相较劲来生成东西」那套老办法(叫 GAN)在这本书里还有一席之地 |
推荐顺序: 01 → 02 → 03 → …… → 20,这也是全书的论证顺序。
只有半小时的话: 读本页第 2 节,加第 01、09 两章。 第 01 章是全书的种子,第 09 章是它最有实操价值的结论。
已经很熟深度学习、只想看物理那部分: 01 → 02 → 03 → 08 → 09 → 10。 已经很熟数值仿真、只想看学习那部分: 01 → 05 → 06 → 07 → 09 → 11 → 13。
4. 这本书覆盖什么、不覆盖什么
这两张表和上面那张地图一个口径:不用记任何术语。
覆盖(而且讲得比多数材料清楚)—— 读完你能回答:
- 「用 AI 做仿真」到底有哪几 种做法,它们的差别在哪一件具体的事情上;
- 一道题有多个都对的答案时会出什么事,以及三种应对各自能走多远;
- 让一个数值求解器「交出梯度」具体是什么操作,以及为什么不能傻乎乎地对它每一步求导;
- 为什么训练时必须让网络多往前跑几步,不这么做会在什么时候翻车;
- 今天那些生成式模型(扩散、流匹配)是怎么一级级被逼出来的,以及它们在物理问题上好在哪、贵在哪;
- 一个自己接着自己的输出一步步往下跑(这种跑法叫自回归)的模型为什么会发散、怎么才不发散(这一章是全书最有实操价值的一组对照实验);
- 训练时决定「每个数往哪挪、挪多少」的那段程序统称优化器,常用的那几个彼此是什么关系、 以及它们共同丢掉了什么;
- 外加大量「这里书里没说清」「这个结果和我们正文写的对不上」的坦白 —— 我们逐处标了。
不覆盖(别指望在这本里找):
| 缺什么 | 说明 |
|---|---|
| 深度学习入门 | 书自己明说不提供,直接假设读者知道什么是网络、什么是训练。我们的拆解把这一层补上了 |
| 数值仿真入门 | 同上。我们也补上了 —— 每个物理词第一次出现时当场讲 |
| 粒子式的仿真 | 书只讲「把空间切成格子」那一类,把水模拟成一堆粒子的那一类明说不在范围内(只在最后一章带一句) |
| 真实实验数据 | 全书用的都是仿真造出来的数据。用真实测量替换掉它,书列为展望 |
| 研 究综述 | 书明说它不是综述。所以它引的工作有明显偏向(见本页第 1 节第一条) |
| 分类问题 | 全书只做回归 —— 也就是「吐出一堆连续的数」,不做「判断属于哪一类」 |
| PINN 近年的修补 | 书对它下了很重的判断,却没有评估后来提出的自适应权重、域分解等一批改进 |
| 谱方法、有限元、湍流模型的分类学 | 这些是数值仿真自己领域的内容,书借用但不讲 |
5. 我们的判断
判断(我们的,不是书里的): 这本书今天的价值排序是 —— **① 那条论证链(不过时) > ② 具体的训练配方(有效,但数字都是他们那个框架跑的)
③ 对各家方法的评价(明显带立场)。** 引用它的时候引 ① 和 ②,引 ③ 的时候必须写明「这是作者的判断」。 如果错,会错在: 如果 PINN 那条路线后来被某个修补真正救活了, 那么 ③ 里的判断不只是「带立场」,而是「已经过时」—— 这两者要区别对待。
判断(我们的,不是书里的): 全书最该带走的一条,不是任何一个算法, 而是第 ② 步那盆冷水的推广形式:当你的任务里「正确答案」不止一个的时候, 「让输出更接近标准答案」这个训练目标本身就是错的 —— 它必然把多个答案揉成一个不存在的东西。 这条判据在物理之外照样成立(图像超分辨率、任何一对多的预测都是)。 如果错,会错在: 如果你的任 务里多个答案的平均恰好也是一个合法答案 (比如它们本来就聚在一起),那这盆冷水不适用,常规训练没有问题。判据是: 把两个合法答案平均一下,得到的东西还合法吗?
判断(我们的,不是书里的): 这本书的形态本身值得注意 —— 它是一个研究组维护的、免费公开的、每章配可运行代码的活文档,不是出版社的书。 好处是所有数字都可复现、版本会更新;代价是它的取材范围就是这个组的视野, 而且同一次运行的正文描述和代码输出会对不上(我们至少发现三处,逐处标了)。 如果错,会错在: 如果那几处不一致是不同版本的运行结果被混排在一起, 那就不是「作者写错了」,而是文档维护的痕迹 —— 但书里没有交代,我们无从判断。
6. 许诺兑现表
这份拆解里每一处「第 N 章讲」「后面会讲」,都在这里记一行、逐行核过。 核的是两件事:那一章真的讲了吗?讲的是不是许诺的那件事,而不是同名的另一件事。
| 许诺在哪 | 许诺了什么 | 应兑现在哪 | 核过了吗 |
|---|---|---|---|
| 本页 §2 ③ | 三档耦合各是什么 | 02 §10「物理能 进来的三个位置」 | ✓ |
| 本页 §2 ⑤ | PINN 到底是什么、书为什么判它那么重 | 07 §3、§10 | ✓ |
| 本页 §2 ⑥ | 「可微物理」具体是什么操作 | 08 §3、§4、§6 | ✓ |
| 本页 §2 ⑥ | 展开为什么是成败关键 | 09 §6 | ✓ |
| 本页 §2 ⑧ | 那条演进链每一级卡在哪 | 11 §10–§14、12 §3–§8、13 §3–§11 | ✓ |
| 本页 §2 ⑧ | 天体物理那个「又准又快 35 倍」 | 14 §11 主走查 | ✓ |
| 本页 §2 ⑨ | 强化学习输在哪一件具体的事上 | 17 §8(长期依赖谁来管)、§9 主走查 | ✓ |
| 本页 §2 ⑩ | 梯度下降是怎么退化来的 | 18 §7 那条退化链 | ✓ |
| 本页 §3 地图 03 | 一步仿真里哪一步最贵 | 03 §7 压力投影 | ✓ |
| 本页 §3 地图 05 | 「训得再好也用不上」的那个场合 | 05 §12 分布漂移 | ✓ |
| 本页 §3 地图 10 | 什么叫硬约束 | 10 §15 | ✓ |
01 §8、§9 | 「一个输入两个答案」这个缺口什么时候补 | 11–13(落点在 13 §7) | ✓ |
01 §12 | 「监督 vs 把物理放进训练」会被切成三档 | 02 §10 | ✓ |
01 §13 | 还有一把正交的刀:一个答案 vs 一整个分布 | 11 §1、§3 | ✓ |
11 §11 | 同一个二维高斯混合后面还要用两次 | 12 主走查、13 §8 另 起一处 | ✓ |
11 §12 | 「中间层形状任意」会变成一个设计手柄 | 13 §11 规定直线路径 | ✓ |
11 §14 | 下一步换的不是架构而是「学什么」 | 12 §3 分数 | ✓ |
11 §18 | 真正的条件化怎么做 | 15 §4–§5 | ✓ |
12 §5 判断 | 换一个预测目标会顺手治好日志不可读 | 13 §5 末段 | ✓ |
12 §9 | 那两笔欠账(档位怎么定 · 为什么贵)第 13 章还 | 13 §3 时间轴 + §14 主走查 | ✓ |
01 §15 | 流匹配到底怎么做 | 13 §10–§11 | ✓ |
13 §3 | 扩散时间和物理时间是两个正交的时间 | 15 §6 | ✓ |
13 §9 | 三条待办里的条件化与物理约束 | 15 §4(条件化)、14 §6–§11(物理约束) | ✓ |
14 §16 | 展开怎么从 4 步加到几十步 | 14 §16 自答 + 15 §10 的 8 步分水岭 | ✓ |
13 §18 判断 | 那把尺子失效时换哪个量 | 16 §8 联合的 Wasserstein 距离 | ✓ |
02 §8 | 不可压那个约束有多贵 | 03 §7 压力投影 | ✓ |
02 §10 | 三档耦合后面各有整块 | 05 / 06–07 / 08–10 | ✓ |
02 §12 | 测试集必须分布外,这条后面会真的用到 | 05 §11 | ✓ |
02 脚注 1 | * 上标的约定,真要用它的时候再讲 | 06 §4 残差 | ✓ |
02 §11 | 三档之外还有两条线 + 一个对照组 | 11–16 / 18–19 / 17 | ✓ |
17 §13 判断 | 梯度本身也可能很糟(接近奇异的雅可比) | 19 §5、§6 | ✓ |
18 §7 | 丢掉的那样东西怎么补回来 | 19 §3(只反演物理)、§10(连网络一起) | ✓ |
03 §7 | 「椭圆型」这个分类会变成选网络的硬判据 | 04 §5 | ✓ |
03 §4 | 一阶平流「搬得糊」后面会变成真问题 | 10 §9 | ✓ |
04 §4 | 没有空间排列时那一类网络的代表是谁 | 07 §3 | ✓ |
04 §12 | 粒子与无网格怎么做 | 20 §6 到 §7 | ✓ |
04 §13 | 现代化的 U-Net 长什么样 | 15 §7 | ✓ |
05 §12 | 必须把仿真器包进训练,否则分布漂移 | 09 §6、10 §3 | ✓ |
06 §6 | 那么硬约束长什么样 | 10 §15 | ✓ |
06 §7 | v2 那一支整章讲 | 07 §3 | ✓ |
06 §5 | 那一族解的名字留到本章末 | 06 §10 零空间 | ✓ |
07 §10 | 「退了一步」之后要把数值方法带回来 | 08 | ✓ |
08 §11 | 可微物理自己的贵:展开越多越难学 | 09 §6、15 §12 那笔账 | ✓ |
09 §8、§9 | 展开几步才够 | 15 §10(答案是 8 步) | ✓ |
09 §11 | 生成式方法给了纳入噪声更有根据的路 | 15 §8–§9(扩散式那一组全稳) | ✓ |
10 §8 | 关掉展开会差多少(书只给了定性) | 15 §10 那组对照 | ✓ |
10 §11 | 强化学习也是一个可能的选项 | 17 全章 | ✓ |
10 §14 | 很难用别的方法打败一个好的展开设置 | 15 §9 到 §12 | ✓ |
01 §15 | 图像超分辨率里那张糊掉的图和这条抛物线是同一件事 | 20 §9(整节讲对抗生成为什么是冲着这件事去的) | ✓ |
| 本页 §2 ⑥ | 那个小网络到底多小、那个求解器到底多粗 | 10 §4 场景 + §5 走查里的设置表(47,330 个参数 / 64×32 网格) | ✓ |
04 §5 | 第 10 章那个四万多参数的小网络用的就是 ResNet | 10 §5 走查里的设置表 | ✓ |
05 §9 | 「推理时」这个词到第 14 章会变成整章的支点 | 14 §4(训练时加还是推理时加)、§1 标题 | ✓ |
01 §15 | 让真实的数值求解器交出梯度有多麻烦 | 08 §3(硬前提)、§5(为什么不能拿框架现成算子搭)、§8(隐式梯度) | ✓ |
02 §10 | 「求解器完全可微」这四个字的工程量 | 08 全章,尤其 §3 与 §5 | ✓ |
06 §7 | 变体一「基本上是可微物理的子集」,第 08 章揭晓 | 08 §3 末段(同一条路的短版与长版) | ✓ |
08 §1 | 网络要到第 09 章才接进这条链子 | 09 §5–§9 主走查(网络接进去之后怎么训) | ✓ |
全表 ✓,没有「待核」。 每一行都在 2026-08-30 那几遍走查里逐行打开对应章节核过:
那一章真的讲了,而且讲的是许诺的那件事,不是同名的另一件事。
后半十章(11–20)新埋的向后许诺也已经补进这张表并核过。
最近这一遍按审读意见全文重扫了一次「第 N 章讲」,补进了末尾那七行:
其中 06 §7 那条原先是一笔真欠账(第 08 章从没接住它),已经在 08 §3 末段当场兑现。
拆解写于 2026-08-29 到 30(01–10 章在前一轮,11–20 章在后一轮),依据 2025 年 v0.3 版。
这本书没有可用的章节书签,所以所有出处用页码定位(text/<页码段>.txt:第 N 段),
每条都可用 node scripts/book-verify.mjs physics-based-deep-learning 回核。