图上的扩散,以及七种方法的横评
1. 这一章讲什么
三件事: 把前几章那套搬到不规则网格上要解决的一个架构问题; 「先压缩、再在压缩空间里做扩散」这条路便宜在哪; 以及一张把七种概率方法摆在一起的表,它给出全书最锋利的一句话。
它在全书链条里的位置:这是第二把刀的收尾。 第 11 到 15 章一路把「学一整个分布」建起来,这一章回头问一个审计式的问题: 这些方法到底谁真的学到了分布? 答案是:光看均值,谁都及格;换个量看,差距立刻拉开到不可比。
2. 顶层全景
前几章都在规则网格上做 这一章换到不规则网格(图)上
┌───────────────────┐ ┌──────────────────────────┐
│ 绕三维机翼的规则网格 │ │ 只要机翼表面的网格 │
│ 十万个以上的单元 │ ───▶ │ 约 7,000 个节点 │
└───────────────────┘ └──────────────────────────┘
│
撞到一个架构问题:图上靠邻居传消息,
大尺度的东西去噪时被「消息传不到那么远」卡住
│
解法:在图的多个粗化版本上做 U-Net 式的传递
│
┌──────────────────────────────┴─────────────┐
▼ ▼
直接在物理空间上扩散 先压到潜空间,再在那里扩散
自编码器管细节,扩散管大尺度
更准 · 快 8 倍 · 训练多约 55%
│
▼
审计:七种方法摆一起,拿什么量才看得出差别?
均值的 R²:全部 ≥ 0.97 —— 分不出高下
标准差的 R²:0.98 → −0.65 —— 差距在这里
这张图在讲什么: 上半是换舞台带来的两个技术问题及其解法, 下半是这一章真正的产出——一把能把这些方法分开的尺子。
3. 换舞台的理由:一个数字就说清了
结论先行:规则网格在有些场合是浪费,而这个浪费可以量。
第 04 章讲过:把空间切成一格一格,是数值仿真的基本动作。 但格子必须铺满整个计算区域——包括那些你其实不关心的地方。
书给的对照极干脆1:
| 表示方式 | 要多少个单元 |
|---|---|
| 绕一个三维机翼的规则网格 | 十万个以上 |
| 只表示机翼表面的网格 | 约 7,000 个节点 |
差了一个多数量级,而你要的东西可能只在表面上。 书说的具体用途是:机翼表面的压力分布既能定出气动性能,也能定出结构要求。
「网格」在这里就是一张图: 一堆点(节点),加上「哪两个点相邻」的连线(边)。 它和规则网格的差别只有一条:邻居的数量和方位不再是固定的。 好处是可以只在你关心的地方铺得密。
书的说法是:前几章那些概念都能搬过来—— 去噪和流匹配在不规则网格上同样好使,直接作用在网格的节点上就行2。
4. 一个必须点破的架构问题
结论先行:搬过去会撞墙,而撞的正是第 04 章那把「牵动多远」的尺子。
图上的网络怎么工作:靠邻居之间一轮轮地传消息。 每一轮,每个节点把自己的信息发给相邻的节点,再把收到的信息汇总、更新自己。 传一轮,一个节点就多知道一圈;传 k 轮,它能知道 k 跳以内的事3。
问题就在这里。书说得很直接4:
以往的图扩散做法用顺序的消息传递在图上传播节点特征。 但这种做法对大尺度现象失效—— 全局特征的去噪,会被消息传递有限的触及范围卡住。
摊开讲: 去噪要求网络回答「这一整张图上叠的是哪一份噪声」。 噪声里有大尺度的成分(整片区域一起偏),要判断它,得看到整片区域。 而消息传递能看多远由层数决定——层数不够,大尺度的成分就判断不了。
这正是第 04 章那把尺子:一个点的变化会牵动多远。 只不过在规则网格上它叫感受野,在图上它叫「消息能传几跳」。
解法书给的也和第 04 章同源4: 在原图和它的多个粗化版本上做 U-Net 式的消息传递。
「粗化」就是把一张密的图合并成一张疏的图(几个节点合成一个), 于是同样传一轮,在疏图上覆盖的物理距离就大得多。 书用的粗化算法本来是给计算流体做快速网格粗化用的4。 在图和它的粗化版本之间上下移动的操作,同样靠消息传递实现。
这一节的收获是一条可迁移的判据: 只要你的任务里有「必须看到全局才判断得了」的成分,就得给网络一条走捷径的路。 U-Net 在规则网格上给的是下采样,在图上给的是粗化——同一件事。
5. 自编码器:把一整个场压成几十个数
结论先行:下一步要在「压缩空间」里做扩散,所以先得讲清楚压缩是怎么来的。
先看它要解决什么。 一个流场有几千到几十万个数。 扩散要在这么多数上反复来回几十上百步,贵。 但这几万个数里的信息,远没有几万个数那么多—— 流场是连续的、有结构的,相邻的地方长得像。
做法是训两个网络,串在一起用:
一整个场(几千个数)
│
▼
编码器 ──▶ 几十个数(这一小把数就是「压缩表示」)
│
▼
解码器 ──▶ 一整个场(几千个数)
└──────── 训练目标:进去和出来的那两个场要像 ────────┘
这两个网络串起来的整体,叫自编码器。 中间那个最窄的地方叫瓶颈,瓶颈处那几十个数,就是整个状态的一份压缩表示。
训练它不需要标注:输入就是标准答案。 你给它一个场,让它还原出同一个场—— 网络要想还原得像,就必须把那几千个数里真正有用的信息塞进中间那几十个数里。
为什么不用老办法。 书点了名: 主成分分析这类经典的降维方法(降维就是把很多个数压成少数几个数),构造上是线性的, 表示不了有意思的解流形(第 02 章讲过:所有合法解在高维空间里张成的那个弯曲的面)5。 流场随参数变化的方式是弯的,拿一堆直的方向去逼近,逼不出来。
书用的具体版本是一个「变分」的图自编码器。 ⚠️ 「变分」那一版和这里讲的普通自编码器结构像、机理不同—— 它的编码器吐的不是一串数,而是一个分布的参数6。 这个区别在这一章不承重,我们只按「压缩 + 还原」这个作用去理解它。
6. 潜空间:它不只是省算力,还是一次分工
结论先行:在压缩空间里做扩散的收益,一半来自省,一半来自分工。
自编码器瓶颈处那几十个数张成的空间,叫潜空间。 「在潜空间里做扩散」就是:不去生成那个几千个数的场, 而是去生成那几十个数,再让解码器把它还原成场。
省算力这一半很好理解:要来回几十步的对象小了两三个数量级。 但书强调的是另一半——分工7:
| 谁 | 负责什么 |
|---|---|
| 自编码器 | 高频信息:空间梯度、小涡 |
| 扩散那一半 | 中到大尺度的模式:尾流、涡街 |
书的原话是:解耦这两件事简化了生成式的学习过程, 让扩散那一半能专注在更有意义的表示上,不必对小尺度的抖动那么敏感。
还有一个顺带的好处:推理时,解码器还能帮着清掉扩散那一半留下的残余噪声7。
这条分工为什么值钱:回到第 13 章那个观察——均值容易、标准差难。 小涡的具体位置本来就是随机的,让扩散去操心它们是浪费; 而尾流往哪边偏、涡街的相位在哪,才是真正需要「学分布」的部分。
收益的数在第 8 节主走查里给,先记结论:更准、快 8 倍、训练时间只多约 55%。
7. 两个新主张
书在这一章提了两条主张,它们都不是关于精度的,而是关于「能省掉什么」。
主张一:训练数据不完整,照样能学到完整的分布。
书的说法是2: 即使训练数据对单个例子只有一份不完整的分布, 「从许多不同例子里学习」这个全局的视角,也能让网络把后验分布补全。
读法:每个 case 你只看了一小段,但你看了很多个 case; 不同 case 的片面视野合在一起,能拼出完整的统计。 第 9 节那个「250 个状态只占约一成」就是这条主张的实验。
主张二:可以跳过冗长的瞬态热身。
先讲清楚「瞬态」和「统计平衡」这对词,它们是这一节的前提: 一个流动从静止开始,要跑很久才进入「统计上稳定」的状态 ——那之后流场每一刻都不一样,但它的统计量(均值、脉动强度)不再变了。 前面那一段叫瞬态,是热身,通常没人关心,但必须跑完才能开始采数据。
书说扩散那一套可以完全跳过这段热身,直接产生想要的样本2。 它给的理由是需求侧的:对许多涉及湍流的实际应用, 关键是拿到「所有可能流态」的完整分布,由此才能导出相关的统计量。
这一条的价值在第 8 节那组时间数字里会变得非常具体。
8. 主走查:三维湍流里机翼表面的压力分布
走查之前先讲清一个词,它决定了这组数据是怎么造出来的。
分离涡模拟:一种折中的做法—— 靠近壁面的那一层按「把湍流平均掉」的方式处理(第 05 章那个 RANS 的思路), 而远离壁面的大涡直接算出来。 它介于「什么都直接算」和「全部平均掉」之间。
主走查第 1 步(任务): 三维湍流里,机翼表面的压力分布。 机翼的几何在相对厚度、梢根比、后掠角、扭转角上变化1。 书说这个任务难在湍流本身的高维和混沌,以及它跨越很多尺度的相互作用。
主走查第 2 步(为什么用图): 规则网格要十万个以上的单元, 表面网格约 7,000 个节点1。
主走查第 3 步(训练数据,这一步是主张一的实验): 用分离涡模拟造数据,取「统计平衡刚达成之后」的 250 个连续状态1。 ⚠️ 书自己算了这个数的分量:那只占「要让方差达到统计上稳定所需状态数」的约一成。 书的原话是:模型是在对每个 case 只有非常片面的视野下训练的。
主走查第 4 步(拿什么量,这一步是全章的方法论): 指标是 Wasserstein 距离。 它量的是「把一堆土搬成另一堆要花多少功」—— 两个分布之间,要把一边的概率质量搬成另一边的样子,总搬运代价是多少8。
书特意说明它有两种算法,而两者的差别是这一节最该记住的东西8:
算法 怎么算 抓得住什么 逐节点算 把每个节点的分布各自独立处理,再平均 逐点的统计(均值、标准差)准不准 在整张图上联合算 考虑所有节点的联合分布 还会惩罚错误的空间相关性 差别的例子:两个节点该同时变大,而模型让它们各自随机地大—— 逐点算看不出问题,联合算会扣分。
主走查第 5 步(为了统计稳定,两边各取多少): 真值那一边用 2,500 个连续状态,预测那一边采 3,000 个样本8。 ⚠️ 书同时坦白:训练数据里的轨迹长到足够抓住均值流, 但不足以抓住标准差、空间相关性或者更高阶的统计。
主走查第 6 步(结果)9:
方法 图上的 Wasserstein 距离 潜空间版(先压缩再扩散) 1.95 ± 0.89 物理空间版(直接扩散) 2.12 ± 0.90 高斯混合基线 4.32 ± 0.86 两个扩散版本都远好于那个基线,而潜空间版最好。
主走查第 7 步(时间,这一步是主张二的实验)10:
谁 干了什么 花了多久 真值求解器(8 个 CPU 线程) 跑完瞬态阶段 + 2,500 个平衡态 2,989 分钟 潜空间版(8 个 CPU 线程) 生成 3,000 个样本 49 分钟 潜空间版(单个 GPU,也就是一块显卡) 生成 3,000 个样本 2.43 分钟 书还换了个角度算:如果只要一个收敛好的状态(比如拿去当另一个仿真器的初始条件), 在 CPU 上快四个数量级,在 GPU 上快五个数量级。 ⚠️ 书自己先声明了:跨实现的运行时比较总要打个折扣。
主走查第 8 步(潜空间那一步值不值): 潜空间版不但更准,还比物理空间版快 8 倍,而训练时间只多约 55%10。
9. 另起一处的走查:椭圆柱表面的七法横评
另起一处的走查(和主走查那个三维机翼不是同一个任务): 椭圆柱周围的压力场,同样只看浸没物体的表面。 关键设计:训练轨迹被故意做得很短——短到覆盖不了一个完整的振荡周期。 也就是说,它们没有显式提供系统的完整统计信息11。
要证明的点书写在一个专门的框里:扩散训练能通过组合 多个初始条件和几何形状的信息,学到完整的统计。 书说这是「一个非常强大的能力,把它和其他概率学习方法区分开来」。
真值分布是双峰的,由椭圆柱后方反复的涡脱落造成—— 所以模型既要抓住两个极值(密度更高的地方),也要抓住密度较低的中间部分12。
然后是这张表,它是全书对概率方法最完整的一次横评13:
| 方法 | 均值的 R² | 标准差的 R² | 逐点的 W₂ | 联合的 W₂ |
|---|---|---|---|---|
| 物理空间扩散 | 0.9989 | 0.9814 | 0.0116 | 0.1536 |
| 潜空间扩散 | 0.9986 | 0.9614 | 0.0143 | 0.1787 |
| 潜空间流匹配 | 0.9985 | 0.8425 | 0.0154 | 0.1635 |
| 自编码器单用 | 0.9994 | 0.8818 | 0.0130 | 0.2050 |
| 物理空间流匹配 | 0.9976 | 0.4237 | 0.0235 | 0.2256 |
| 贝叶斯图网络 | 0.9980 | −0.6514 | 0.0363 | 0.5987 |
| 高斯混合图网络 | 0.9708 | 0.1079 | 0.0535 | 0.7174 |
先把 R² 讲清楚,不然这张表没法读: 它是一个「解释了多少」的分数,1 表示完全对上,0 表示「和直接预测一个常数一样好」, 负数表示比预测一个常数还差。
现在这张表可以一句话读完:
均值那一列,七个方法全在 0.97 以上,几乎分不出高下。 标准差那一列,从 0.98 一路掉到 −0.65。
−0.6514 这个数要读出它的意思:那个方法预测的标准差场, 比「不管在哪儿都报同一个数」还要差。
这就是这一章那句话的全部依据:学均值谁都会,学分布才是分水岭。
10. 逐条读这张表
书自己对这张表给了四条观察,每一条都值得单独记12:
第一,物理空间那 一版这里甚至能赢过潜空间版。 书的解释:常规版本的噪声在这个 case 上一定程度被平均掉了。 ⚠️ 注意这和第 8 节主走查的结论相反——那里是潜空间版赢。 同一套方法在两个任务上排名不同,这本身就是一条该记住的事实。
第二,流匹配以零头的成本产生这些分布,因此一般更可取。 读法:看表里流匹配那两行的标准差 R²(0.8425 和 0.4237)不如扩散那两行, 但书仍然推荐它——因为它便宜得多(第 13 章那个 20 步对 200 步)。
第三,贝叶斯网络和高斯混合模型的问题在分布图上非常清楚。 它们正是第 11 章提过的那两条老路,而这里给了它们的成绩单。
第四,自编码器单用的问题在这里也更清楚了:它有模态坍缩。 「模态坍缩」就是:数据里明明有两支(或多支)解,而模型只生成得出其中一支, 另一支被整个丢掉。 ⚠️ 这正是第 01 章那盆冷水的另一种失败方式—— 不是把两支平均掉,而是干脆只认一支。 书说这个问题在更复杂的场景里更严重。
书还坦白了这把尺子的局限12: 图上的 Wasserstein 距离基本抓住了上面这些直觉, 但没能反映分布的外围和内部部分匹配得多好。
11. 这一部分的结账与最后的推荐
书给整个概率那一块列了账14:
| ✅ 好处 | ❌ 代价 |
|---|---|
| 能对分布做训练和推理 | 推理成本略微增加 |
| 理论很成熟 | 对确定性的场景没有真正的优势 |
| 训练稳定 |
书还有一句有意思的观察14: 令人惊讶的是,概率那一套里有些部分, 实际上比关于更简单的学习方法的一些基本问题发展得还更完善。
那条「对确定性场景没有优势」有一个明确的例外,书自己点了14: 长期稳定性——也就是第 15 章那个二十万步不发散。
最后是一条可以直接带走的二选一判据14:
如果你的问题包含歧义,以流匹配形式出现的扩散建模是首选。 如果你的数据包含可靠的输入-输出对,那就用更简单的确定性训练。
12. 主走查合起来看
| 步 | 发生了什么 | 具体的数 |
|---|---|---|
| 1 | 任务 | 三维湍流里机翼表面的压力分布;几何在厚度、梢根比、后掠角、扭转角上变化 |
| 2 | 为什么换图 | 规则网格 10⁵ 个以上单元 对 表面网格 约 7,000 个节点 |
| 3 | 架构问题 | 消息传递够不着大尺度 → 在图的多个粗化版本上做 U-Net 式传递 |
| 4 | 训练数据 | 分离涡模拟,统计平衡刚达成后的 250 个连续状态 ≈ 所需的一成 |
| 5 | 指标 | Wasserstein 距离,两种算法:逐节点算 / 在整张图上联合算 |
| 6 | 统计口径 | 真值 2,500 个状态,预测 3,000 个样本 |
| 7 | 结果 | 潜空间版 1.95 ± 0.89 / 物理空间版 2.12 ± 0.90 / 高斯混合 4.32 ± 0.86 |
| 8 | 时间 | 真值求解器 2,989 分钟;潜空间版 49 分钟(8 CPU 线程)、2.43 分钟(单 GPU) |
| 9 | 换个角度 | 只要一个收敛态的话,CPU 上快四个数量级、GPU 上快五个数量级 |
| 10 | 潜空间的账 | 更准 · 快 8 倍 · 训练时间只多约 55% |
每个数都是书里给的(逐条见脚注); 书自己先声明了跨实现的运行时比较要打折扣。
13. 作者的判断与证据
书里给了证据的:
| 说法 | 证据 |
|---|---|
| 潜空间那一步值 | 三维机翼上的 1.95 对 2.12,外加 8 倍速度与 55% 训练开销910 |
| 学均值谁都会 | 七种方法的均值 R² 全部 ≥ 0.970813 |
| 学分布才分得开 | 同一批方法的标准差 R² 从 0.9814 掉到 −0.651413 |
| 片面视野也能学到完整统计 | 250 个状态 ≈ 一成,而结果仍然对得上19 |
| 自编码器单用会模态坍缩 | 分布图上可见,外加标准差 R² 只有 0.88181213 |
作者的判断:
| 说法 | 为什么算判断 |
|---|---|
| 「顺序消息传递对大尺度现象失效」 | 没有给「不做粗化会差多少」的对照4 |
| 「流匹配一般更可取」 | 这张表里流匹配的标准差 R² 反而更低;推荐依据是成本,而成本在这一章没有量12 |
| 「跳过瞬态热身」 | 时间对比里那 2,989 分钟包含瞬态,但书没有单独给瞬态占多少10 |
| 「四到五个数量级的加速」 | 由生成 3,000 个样本的耗时折算出来的,不是直接测的10 |
| 物理空间版在椭圆上反超潜空间版 | 书给了归因(噪声被平均掉),但没有做验证12 |
判断(我们的,不是书里的): 这一章最该被带走的是那把尺子,不是那些方法。 「均值的 R² 和标准差的 R² 分开报」这一个动作,就足以把一批看起来都不错的方法排出真实次序。 而它之所以有效,是因为均值是所有回归目标都会顺带学到的东西, 标准差不是——只有真的在建模分布,标准差才可能对。 如果错,会错在: 如果真值的标准差场在空间上很平(处处差不多), 那么 R² 的分母很小,任何小误差都会让它掉到负数,这把尺子会过度惩罚。 判据是:真值标准差场的空间方差有多大? 太小就得换成第 8 节那个联合的 Wasserstein 距离。
14. 边界与局限
- 两个任务给出了相反的排名(三维机翼上潜空间版赢,椭圆柱上物理空间版赢), 书给了归因但没有验证,也没有给「什么时候该选哪个」的判据;
- 横评那张表只在一个任务上跑过,而且是表面压力这一个量;
- 横评表里没有推理耗时。 书推荐流匹配的理由是成本,但这一章一个成本数字都没有;
- 「250 个状态约占一成」的那个一成怎么算的,书没有交代;
- 粗化算法只提了名字,粗化几级、每级压缩多少,正文没有给;
- 自编码器那一半的规模、潜空间维度多少,全书没有给—— 而这恰恰是「快 8 倍」的来源;
- 模态坍缩只有定性描述, 没有量化;
- Wasserstein 距离那把尺子书自己说漏了东西: 它反映不出分布的外围和内部匹配得多好12;
- 整章没有物理约束。 这里的扩散完全是数据驱动的, 仿真器没有进入训练或推理——那是第 14 章那条线的事。
15. 可带走的
- 规则网格在有些场合是浪费: 绕三维机翼要十万个以上的单元, 而只要表面时七千个节点就够;
- 网格就是一张图:一堆点加上「谁和谁相邻」;好处是可以只在关心的地方铺密;
- 去噪和流匹配能原样搬到图上,直接作用在节点上;
- 但会撞一堵墙:图上的网络靠邻居一轮轮传消息,能看多远由层数决定; 大尺度成分的去噪会被这个范围卡住;
- 解法和 U-Net 同源:在图的多个粗化版本上传消息,让一轮消息覆盖更大的物理距离;
- 自编码器 = 编码器把一整个场压成几十个数 + 解码器再还原回去; 训练不需要标注,输入就是标准答案;
- 主成分分析这类经典降维构造上是线性的,表示不了弯曲的解流形;
- 潜空间的收益一半是省,一半是分工: 自编码器管小涡和空间梯度这类高频,扩散只管尾流、涡街这类中到大尺度;
- 收益是可量 的:更准、快 8 倍、训练时间只多约 55%;
- 训练数据只有一成的片面视野,照样能学到完整的统计—— 靠的是「跨很多不同 case 的全局视角」;
- 扩散可以跳过冗长的瞬态热身,直接产生平衡态的样本;
- Wasserstein 距离量的是「把一堆土搬成另一堆要花多少功」; 逐点算和在整张图上联合算是两回事——前者不惩罚错误的空间相关性;
- 一张表的全部信息:均值 R² 全在 0.97 以上,标准差 R² 从 0.98 掉到 −0.65。 学均值谁都会,学分布才是分水岭;
- 负的 R² 意味着「比不管在哪儿都报同一个数还差」;
- 模态坍缩是另一种失败:不是把两支平均掉,而是干脆只认一支;
- 最后那条二选一:有歧义就用流匹配形式的扩散; 有可靠的输入-输出对就用更简单的确定性训练。
16. 原文地图
| 主题 | 原书章 | 原文位置 |
|---|---|---|
| 概念能搬到图上、补全数据分布 | 31 Graph-based Diffusion Models | text/17-p321-340.txt:165(搜「unstrucuted Eulerian meshes」) · text/17-p321-340.txt:166(搜「excel at completing data distributions」) |
| 跳过瞬态热身 | 31 同上 | text/17-p321-340.txt:170(搜「full distribution of possible flow states」) |
| 直接作用在网格节点上 | 31.1 Diffusion Graph Net | text/17-p321-340.txt:179(搜「defined by their discretization mesh」) |
| 消息传递对大尺度失效、多尺度图 U-Net | 31.2 | text/17-p321-340.txt:260(搜「sequential message passing」) · text/17-p321-340.txt:264(搜「coarsening algorithm」) |
| 潜空间、两半的分工、解码器去残余噪声 | 31.3 Diffusion in Latent Space | text/17-p321-340.txt:273(搜「lower-dimensional graph-based representation」) · text/17-p321-340.txt:276(搜「captures high-frequency information」) |
| 三维机翼任务、7,000 节点、250 个状态 | 31.4 Turbulent Flows around Wings in 3D | text/17-p321-340.txt:337(搜「approximately 7,000 nodes」) · text/17-p321-340.txt:340(搜「Detached Eddy Simulation」) |
| 两种 Wasserstein 算法、2500 与 3000 | 31.5 Distributional accuracy | text/17-p321-340.txt:350(搜「Wasserstein-2 distance」) · text/17-p321-340.txt:355(搜「2,500 consecutive states」) |
| 1.95 / 2.12 / 4.32 | 31.5 同上 | text/17-p321-340.txt:363(搜「1.95」) |
| 2,989 分钟 / 49 分钟 / 2.43 分钟、快 8 倍 | 31.6 Computational Performance | text/17-p321-340.txt:371(搜「grain of salt」) · text/17-p321-340.txt:377(搜「8× faster」) |
| 轨迹故意做得很短、要证明的点 | 32 Distributional Accuracy of Diffusion Graph Nets | text/17-p321-340.txt:390(搜「too short to cover one full oscillation」) · text/17-p321-340.txt:396(搜「combining the information across multiple」) |
| 七种方法的数字 | 32.3 Evaluating Distributional Accuracy | text/18-p341-360.txt:217(搜「R2 of std: 0.9814」) · text/18-p341-360.txt:239(搜「R2 of std: -0.6514」) · text/18-p341-360.txt:246(搜「R2 of std: 0.1079」) |
| 双峰真值、四条观察、尺子的局限 | 32.3 同上 | text/18-p341-360.txt:256(搜「bi-modal distribution」) · text/18-p341-360.txt:263(搜「mode-collapse」) · text/18-p341-360.txt:265(搜「fails to illustrate」) |
| 这一部分的账与最后的推荐 | 33 Discussion of Probabilistic Learning | text/18-p341-360.txt:273(搜「more developed than basic questions」) · text/18-p341-360.txt:278(搜「relatively few advantages for deterministic settings」) · text/18-p341-360.txt:289(搜「go with simpler deterministic training」) |