这本书的坐标系:物理该在哪一层进来
1. 这一章讲什么
三件事: 把「仿真」这个词拆开——它是一条方程加上一刀切分,切完得到的那段程序叫求解器; 把「反着推」和「正着算」分开——它们难在完全不同的地方; 以及把「用 AI 做仿真」这句话拆成三种做法,而它们的差别只在一件事上:物理进到了哪一层。
它在全书链条里的位置:这是地图,不是风景。 第 01 章给了种子(一道题有两个都对的答案), 但没说清「物理」和「仿真」到底指什么东西。这一章补上,并且立起两个轴—— 后面十八章的每一章都能落进这两个轴张成的格子里。
这一章不给任何性能数字。 它是让你在读第 03 章以后的每一章时,知道自己站在哪儿。
2. 顶层全景
整章围着同一个场景转:烛火上方那缕烟。 第 01 章用它说明「一个输入两个答案」, 这一章用它说明「一次仿真到底由哪几件东西组成」。
真实现象 写成方程 切成有限个数 一段程序
┌──────────┐ ┌──────────┐ ┌──────────────┐ ┌──────────┐
│ 一缕烟 │ ──→ │ 速度怎么 │ ──→ │ 32×40 个格子 │ ──→ │ 每调一次 │
│ 从烛火 │ │ 随时间变 │ │ 时间步 Δt=1.5│ │ 往前推 │
│ 升起 │ │(四项+一 │ │ 一个状态 = │ │ 一小步 │
│ │ │ 条约束) │ │ 几千个浮点数 │ │ │
└──────────┘ └──────────┘ └──────────────┘ └──────────┘
↑ ↑ ↑
「模型」 「离散化」 「求解器」
这本书里的 切法一改, 它很准,
model 指这个 结果就变 也很慢
│
┌─────────────────────────────────────────────┤
↓ ↓
正问题:给 t=0,求 20 步后 反问题:给 20 步后,求 t=0
(烟往哪儿飘) (当初该吹多大的风)
这张图在讲什么: 从左到右,是一件真事被一步步变成计算机里的一堆数; 最后那个分叉,是全书所有任务的两种朝向。「物理该在哪一层进来」这个问题, 问的就是神经网络插在这条链子的哪一环上。
这一章的所有数字(32×40 个格子、Δt = 1.5、第一步跑出来的 0.1558) 都是书里那个烟羽例子的真实设置和真实输出; 「20 步」是我们为了把正反两个方向说清楚而挑的步数。
3. 先立一条记号,不然整本书都读岔
结论先行:这本书里的「模型」不是你以为的那个模型。
在机器学习圈子里,「模型」几乎总是指训练出来的那个网络。 这本书反过来:「模型」专指描述物理现象的那组方程; 训练出来的东西一律叫「NN」或者「网络」1。
这不是文字游戏,它会直接让你读岔句子。 书里说「把模型放进训练过程」,意思是「把物理方程放进训练过程」; 如果按机器学习的习惯读成「把网络放进训练过程」,整句话就废了。 这组拆解全程遵守书的用法:说「模型」就是说方程。
4. 场:物理量不是一个数,是铺满整个空间的一层数
先看现象。 你想描述一缕烟,要描述什么? 不是「烟的速度是 3」——空间里每一个位置各有各的速度: 烟柱中心往上冲得快,边上慢,离得远的地方几乎不动。
「给空间里每一个点各配一个值」的这种东西,叫一个场(field)。 烟的例子里有两个场:速度场(每一点配一个带方向的量,往哪儿流、多快)和 烟雾浓度场(每一点配一个数,这儿有多少烟)。 后面还会冒出压力场——每一点的压力有多大。
物理定律就是「场怎么随时间变」的规则。 写下来是这样一句话: 「某一点的速度,在下一瞬间的变化率 = 这一点被别的东西推了多少 + 被别的东西拉平了多少 + ……」。 这种同时牵涉到「随时间变多少」和「随位置变多少」的方程,叫偏微分方程 (partial differential equation,几乎所有资料里都缩写成 PDE,你出门一定会撞见这三个字母)2。
光有方程还不够,一个 PDE 通常有无穷多组解。 要把答案钉死,还得补两样东西: 初始条件(t = 0 时每一点分别是什么状态)和边界条件 (空间的边缘上发生什么——是撞墙弹回来,还是从这头出去从那头进来)3。
5. 离散化:把连续的东西切成有限个数,这一刀之后才有求解器
结论先行:「求解器」不是解出公式,是一步一步往前挪。
上一节那个方程,除了极少数特例,没有公式可以直接写出答案。 能做的只有一件事:把连续的空间切成一格一格,把连续的时间切成一小步一小步, 然后从初始状态出发,一步一步往前推。
这一刀叫离散化(discretization)。切完之后,原本「无穷多个点上的无穷多个值」 变成了「有限个格子里的有限个数」——计算机能存、能算的东西。
烟羽那个例子的具体切法: 横向 32 格、纵向 40 格,一共 1280 个格子; 这些格子覆盖的物理区域横 0 到 80、纵 0 到 100 个单位;时间步 Δt = 1.54。 每个格子里要存烟雾浓度和速度,所以一个「状态」就是几千个浮点数。
干「往前推一步」这件事的那段程序,就叫求解器(solver)。 你把当前状态交给它,它还给你 Δt 之后的状态;想看 20 步之后,就调用它 20 次。
同一条方程可以有很多种切法,而切法的选择有个名字:离散格式(discretization scheme)。 比如「一格里的导数用左右两个邻居算,还是只用上游那个邻居算」,就是两种不同的格式。
这里有一句书里非常硬的话,它是全书立场的地基: 几十年来数值数学发展出了大量高度专门化的离散格式,而 「对离散方式看似微不足道的改动,就能决定某个关键现象在解里出不出得来」5。
主走查第 1 步: 一缕烟 → 两个场(速度、烟雾浓度)+ 一条 PDE → 切成 32×40 = 1280 个格子、Δt = 1.5 → 一段能把状态往前推 1.5 个时间单位的程序。 调它一次,书里那次跑出来的结果是:最大速度 0.1558、平均烟雾浓度 0.0081256。
6. 那个人人都问的问题:AI 会不会取代传统仿真
先把对手的论据摆结实,这是书自己的做法。
书承认:已经有工作显示,基于神经网络的代替品在翼型绕流这类真实工业场景上 达到了所需的精度,同时运行时比传统求解器快好几个数量级7。 既然如此,与其小心翼翼地从第一性原理推方程,不如喂足够大的数据集?
书的回答只有四个字:这种担心没有根据(this concern is unfounded)7。 它的正面主张是:下一代仿真系统必须打通两个世界——经典数值方法 + AI。
理由就是上一节那句话。 那些离散格式是几十年打磨出来的、 「改一点点就决定关键现象出不出得来」的东西,扔掉太浪费; 而深度学习虽然强,却强烈受益于以物理模型形式给出的领域知识8。
书还顺手回敬了「神经网络是黑箱」这个说法,而且用了一个很好的类比: 1950 年前后,数值方法自己也曾被这么看待——当时数值不稳定性被一位计算先驱称作 「未来持续的焦虑之源」;而今天我们对这些不稳定性已经很有把握了。 书的结论是:神经网络**「不过是一套新的数值工具」**,只是目前是我们手上处理非线性问题最强的一套9。
7. 最简单的那条方程里,已经有两个方向相反的机制
书全书只用两条方程,先讲简单的那条:Burgers 方程。
它写出来只有两项,但这两项做的事正好相反:
| 项 | 它在干什么 | 用烟来说 |
|---|---|---|
| 平流(advection) | 把东西搬走:某处的量顺着流速被输送到别处 | 烟被往上带走 |
| 扩散(diffusion) | 把东西抹平:高的地方降下去、低的地方升上来 | 烟柱的边缘慢慢变模糊 |
平流是「搬」,扩散是「抹」。 扩散这一项来自热力学第二定律—— 差异总是自发地被磨平,这是耗散10。
Burgers 方程要紧在哪儿:它没有任何额外的约束,所以会撞出激波。 想象一维的一根线上,左半边的东西向右冲、右半边的东西向左冲。 两股相向而行的东西挤到一起,又没有任何机制阻止它们越挤越密, 于是在相遇处堆出一个几乎垂直的陡坎——这个陡坎叫激波(shock)11。
书选它当起点的理由很实在:它简单,但非线性、不平凡。 「非线性」在这里有个很具体的意思:速度自己参与了搬运自己这件事 (搬得多快取决于速度本身),所以两倍的输入不给两倍的输出。
主走查第 2 步(反面): 把那缕烟换成只受平流和扩散支配的东西 → 相向而来的两股流在相遇处堆出一个陡坎 → 解里出现一个几乎不连续的跳变。 这正是下一节那条约束要防的东西。
8. Navier-Stokes 多的那一条:每一格净流出必须为零
结论先行:多的这一条约束,救了一件事,坏了另一件事。
描述真实流体的那组方程叫 Navier-Stokes 方程。 和 Burgers 相比,它在「动量守恒」之外多了一条:质量守恒12。
质量守恒写出来是「散度为零」,而散度这个词可以完全用大白话讲清楚: 盯住一个格子,把从它六个面(二维就是四条边)流进来的量减去流出去的量, 得到的那个净额就叫这一格的散度(divergence)。 散度为零的意思是:流进多少就得流出多少,一格里既不能凭空多出东西,也不能凭空少掉。
好处立刻可见:上一节那个陡坎堆不起来了。 东西没法在某处越挤越密—— 挤进来多少必须挤出去多少,所以激波形成不了。
坏处也立刻可见,而且是数值方法上的:这变成了一个硬约束。 「硬」的意思是每一步都必须真的满足,不能「差不多满足」。 书的原话是:它「为数值方法引入了一个新的挑战,形式是一条无散运动的硬约束」12。
这条约束有多贵,第 03 章会用真数字走一遍—— 它是整条仿真流水线里最花时间的那一步。
烟能自己往上升,还差一样东西:浮力。 书用的是一个简化办法:另设一个标记场表示「哪里比较热」, 然后在竖直方向上按这个标记的大小加一份力,这样不必显式地算密度变化,热烟也会上升。 这个简化叫布森涅斯克近似(Boussinesq approximation)13。
主走查第 3 步: 那缕烟的完整方程 = 平流(被自己的流速搬)+ 浮力(热的地方往上顶)
- 压力(把不满足约束的部分推回去)+ 黏性扩散,外加一条「每格净流出为零」的硬约束。 切成 1280 个格子之后,求解器每调一次就把这四件事各做一遍、再强制一次那条约束。
9. 第二个轴:正着算,还是反着推
这两件事听起来像同一件事的两个方向,其实难在完全不同的地方。
正问题(forward problem):给定 t = 0 的状态,求它演化下去会变成什么。 这是求解器的本职工作——调 20 次,拿到第 20 步的烟羽形状。
反问题(inverse problem):给定观测,反推出产生它的参数或状态14。 比如:我看到第 20 步的烟羽是这个形状,当初 t = 0 时该往哪儿吹、吹多大的风?
反问题为什么难,书在讲长程控制那一章给了最清楚的一句: 约束只有序列末尾的一个状态,而可以调整的自由度和整个流场一样多15。
把这句话摊开: 你手上只有一个「终点该长什么样」的要求, 却要去定一整片速度场上的每一个数;而且这些数中间隔着 20 步非线性演化—— 你改一丁点,20 步之后的结果可能面目 全非。
主走查第 4 步: 正问题——给 t=0 的 1280 格状态,调求解器 20 次,得到 t=30 的烟羽形状。 反问题——只给 t=30 的那张形状,反推 t=0 该有的速度场:要定的数有上千个, 而约束只有末尾那一张图。
10. 第一个轴:物理能在哪三个位置进来
这是全书的骨架,也是我们第 05 到 10 章的分章依据。
按「物理模型和神经网络耦合得多紧」,书把所有做法分成三档16:
| 档 | 书里的名字 | 物理进到哪一层 | 我们哪几章 |
|---|---|---|---|
| 一 | supervised(监督) | 数据由物理系统产生,此后再无交互——求解器算完一堆题目和答案就被扔掉 | 05 |
| 二 | loss-terms(损失项) | 物理动力学编码进损失函数;这是软约束,别名「physics-informed」 | 06–07 |
| 三 | hybrid(混合) | 完整的仿真和网络输出交错组合,要求求解器完全可微 | 08–10 |
这三个英文名要记住,因为你出门就会撞见它们——尤其是第二档那个别名 「physics-informed」,它是最有名的一支(PINN)的名字来源。
回到烟的例子,三档各会怎么处理反问题:
- 第一档: 先用求解器算几千组「初速度 → 20 步后的形状」存成数据集, 再训一个网络学「形状 → 初速度」。训完之后求解器不再出现。
- 第二档: 不预先算数据。让网络吐一个初速度,把它代回方程, 看方程还成不成立,不成立的程度当损失。
- 第三档: 让网络吐一个初速度,真的拿求解器跑 20 步, 看跑出来的形状离目标差多远,再把这个差距穿过那 20 步传回网络。
第三档要求「求解器完全可微」,这四个字是全书最大的一块工程量,第 08 章整章讲。
11. 但这三档不是全书的全部
必须当场说清,否则你会以为读完三档就读完了这本书。
书里还有两条线不在这三档里:
- 让网络吐一整个分布,而不是一个答案(第 11 到 16 章)。 这是和三档正交的另一把刀——第 01 章那个「只拿得到一支」的缺口就靠它补;
- 回头质疑训练时那个更新量本身算得对不对(第 18 到 19 章)。
外加一个对照组: 强化学习(第 17 章),书把它拿来和第三档比,而且它输了。
12. 书自己划的边界
书对自己不覆盖什么说得很清楚,这几条直接决定你能不能靠它解决手上的问题17:
| 只做 | 不做 |
|---|---|
| 稠密的、基于场的仿真——就是本章第 4 节那种「把空间切成格子」 | 拉格朗日方法——把流体表示成一堆跟着流动跑的粒子,那一类不在范围内(只在最后一章带一句) |
| 和深度学习的结合 | 别的机器学习技术 |
| 合成数据(仿真造出来的) | 真实实验测量——书把它列为展望 |
| 回归——吐出一堆连续的数 | 分类——判断属于哪一类;书明说全书只做回归18 |
另外两条: 书不提供深度学习和数值仿真的入门(推荐读者去读别的书), 也不是这个领域的研究综述19。 前一条正是这组拆解在补的东西;后一条意味着它引的工作有明显偏向。
还有一条容易漏掉、但后面会咬人的约定:测试集必须和训练集分布不同。 同分布的那一份只配叫验证集;要看泛化,测试数据得是分布外的。 书还诚实地补了一 句:这件事没有金标准——从微小的改动到完全不同的输入, 中间是一整条连续的谱20。这条约定在第 05 章会真的用到。
13. 主走查合起来看
同一缕烟,从现象走到「三档各怎么处理」:
| 步 | 发生了什么 | 具体的数或状态 |
|---|---|---|
| 1 | 现象变成两个场 + 一条 PDE | 速度场、烟雾浓度场;方程有平流、浮力、压力、黏性四项 |
| 2 | 去掉质量守恒会怎样 | 相向的两股流堆出陡坎 → 激波 |
| 3 | 加上质量守恒 | 每格净流出 = 0;激波没了,代价是一条每步必须强制满足的硬约束 |
| 4 | 切成格子和时间步 | 32 × 40 = 1280 格,横 0–80 / 纵 0–100,Δt = 1.5 |
| 5 | 调一次求解器 | 最大速度 0.1558、平均烟雾浓度 0.008125 |
| 6 | 正问题 | 调 20 次 → t = 30 的烟羽形状 |
| 7 | 反问题 | 只给 t = 30 的形状,反推 t = 0 的速度场:上千个未知数,一个约束 |
| 8 | 第一档怎么做 | 预先算几千组样例,训完扔掉求解器 |
| 9 | 第二档怎么做 | 把网络的答案代回方程,不成立的程度当损失 |
| 10 | 第三档怎么做 | 真的跑 20 步,把差距穿过这 20 步传回网络 |
格子数、物理尺寸、Δt 和第 5 步那两个数是书里的(见脚注); 「20 步」是我们挑的,书里那个反问题的例子用的也是 20 步,细节在第 09 章。
14. 作者的判断与证据
书里给了证据的:
| 说法 | 证据是什么 |
|---|---|
| 神经网络代替品在翼型上达到工业精度、快好几个数量级 | 引了一篇 2022 年的工作7;这是别人的结果,不是书自己跑的 |
| 一步仿真跑出来是什么样 | 书里的真实运行输出:最大速度 0.1558、平均浓度 0.0081256 |
| 质量守恒防住激波、但引入硬约束 | 这是数值方法的标准结论,书直接陈述12 |
作者的判断、书没有给出反面证据的:
| 说法 | 为什么算判断 |
|---|---|
| 「AI 会取代传统仿真」这种担心没有根据 | 书说「as we'll show in the next chapters」——它把论证推给了后面所有章节,这里只是立场7 |
| 「对离散方式看似微不足道的改动,就能决定关键现象出不出得来」 | 书没有给具体例子或引用,这是领域经验5 |
| 神经网络「不过是一套新的数值工具」 | 这是一个类比论证(拿 1950 年代的数值方法作比),不是证据9 |
判断(我们的,不是书里的): 第 6 节那句「这种担心没有根据」在这一章是一张空头支票, 它的兑现分散在后面十八章里,而且兑现方式是一边倒的—— 书证明的是「结合数值方法比不结合好」,没有证明「纯数据驱动的代替品做不到」。 第 05 章那个 2.5% 误差的翼型网络就是它自己给的反例:那东西相当好用。 如果错,会错在: 如果读者关心的场景只是「同一类问题反复算几千遍」, 那么纯代替品可能真的够用,书的立场在那个场景下偏保守。 判据是:你要的是又快又够准,还是要误差能被压到任意指定的阈值以下? 后者才是书的立场真正成立的地方(理由在第 14 章)。
15. 边界与局限
- 这一章不含任何具体做法。 它 只立坐标系;每一档具体怎么做, 从第 05 章开始一档一章;
- 三档的分法是书自己的,不是行业标准。 别的资料可能把「physics-informed」 当成一个包罗万象的大词,把三档全装进去;
- 两条方程只讲到「有哪几项、各在干什么」这一层。 怎么把它们变成能跑的代码、 哪一步最贵,全在第 03 章;
- 「求解器完全可微」这个前提这一章只提了名字。 一个数值求解器怎么才能交出梯度、 为什么不能傻乎乎地对它每一步求导,是第 08 章的全部内容;
- 书划的边界里,「不含拉格朗日方法」这一条对搞粒子仿真的人是硬伤—— 整本书对那一类只在最后一章给了一节。
16. 可带走的
- 「仿真」= 一条描述场怎么随时间变的方程 + 一刀把连续切成有限的离散化。 切完之后能把状态往前推一步的那段程序,叫求解器;
- 场 = 给空间里每一点各配一个值。 速度场、压力场、浓度场,全书就这几样;
- 离散格式的选择不是实现细节。 书的原话是,看似微不足道的改动就能决定 某个关键现象在解里出不出得来——这是全书不肯扔掉传统数值方法的全部理由;
- 散度 = 一格里的净流出。 「不可压」就是「每一格的散度为零」, 它防住了激波,代价是每一步都要强制满足一次;
- 平流是搬、扩散是抹。 只有这两项、没有额外约束的时候,相向的流会撞出激波;
- 两个轴,一张地图。 朝向:正着算 vs 反着推;耦合:数据源 / 写进损失 / 搬进训练;
- 反问题难在「约束少、自由度多」,不难在「方向反了」;
- 记住 supervised / loss-terms / hybrid 这三个英文名,你在别人的论文里会撞见;
- 这本书里的「模型」指方程,不指网络。 这一条不记住,后面很多句子会读反;
- 测试集必须分布外,同分布的那份只配叫验证集——而「多外算外」没有金标准。
17. 原文地图
| 主题 | 原书章 | 原文位置 |
|---|---|---|
| 「模型」指方程不指网络 | 3.5 Models and Equations | text/02-p21-40.txt:468(搜「avoid using model to denote」) |
* 上标的记号约定 | 1.1 Differentiable physics | text/01-p1-20.txt:484(搜「idealized, and unknown functions」) |
| 会不会取代传统仿真 | 3.1.1 Replacing traditional simulations? | text/02-p21-40.txt:331(搜「orders of magnitude」) · text/02-p21-40.txt:333(搜「this concern is unfounded」) |
| 离散格式改一点点就决定关键现象 | 3.1.1 同上 | text/02-p21-40.txt:342(搜「Seemingly trivial changes」) |
| 深度学习受益于物理模型形式的领域知识 | 3.1.1 同上 | text/02-p21-40.txt:338(搜「strongly profit from domain knowledge」) |
| 「黑箱」与 1950 年的数值方法 | 3.1.2 Black boxes? | text/02-p21-40.txt:355(搜「constant source of anxiety」) · text/02-p21-40.txt:359(搜「a new set of numerical tools」) |
| 三档耦合的定义 | 3.2 Categorization | text/02-p21-40.txt:399(搜「Supervised: the data is produced」) · text/02-p21-40.txt:406(搜「Hybrid: the full physical simulation」) |
| 正问题 vs 反问题 | 3.2 同上 | text/02-p21-40.txt:392(搜「inverse problems」) |
| 可微物理的一堆别名 | 3.2.1 Naming | text/02-p21-40.txt:419(搜「equivalent to using the adjoint method」) |
| 场、初始条件、边界条件、离散误差 | 3.5.2 Partial differential equations | text/02-p21-40.txt:521(搜「suitable initial conditions」) |
| 测试集必须分布外、没有金标准 | 3.5.1 Deep learning and neural networks | text/02-p21-40.txt:490(搜「out of distribution」) |
| 只做回归不做分类 | 3.5.1 同上 | text/02-p21-40.txt:501(搜「Classification vs Regression」) |
| Burgers:平流 + 扩散 + 激波 | 3.5.3 Some example PDEs | text/02-p21-40.txt:635(搜「interesting shock formations」) |
| Navier-Stokes:质量守恒与硬约束 | 3.5.3 同上 | text/02-p21-40.txt:572(搜「hard-constraint for divergence free」) |
| 布森涅斯克浮力近似 | 3.5.3 同上 | text/02-p21-40.txt:583(搜「Boussinesq approximation」) |
| 烟羽的格子数、Δt、第一步输出 | 3.7 Navier-Stokes Forward Simulation | text/03-p41-60.txt:110(搜「40 × 32 cells」) · text/03-p41-60.txt:158(搜「Max. velocity and mean marker density」) |
| 书自己划的范围 | 3.3 Looking ahead | text/02-p21-40.txt:436(搜「Dense field-based simulations」) |
| 不做入门、不是综述 | 3.1.3 Reconciling AI and simulations | text/02-p21-40.txt:376(搜「no in-depth introduction to deep learning」) |
| 反问题的难处(约束少、自由度多) | 19 Solving Inverse Problems with NNs | text/09-p161-180.txt:915(搜「degrees of freedom」) |