跳到主要内容

电路的数学自救 — Walsh、Hilbert 与一只 60mW 的转换器

这一章讲三件事: 为什么无线电可以不用正弦波; 一只 60mW 的宽带转换器怎么把同行 350-530mW 的账砍下来; 放大器的非线性怎么用「先拧歪再扳直」治好。 第 02 章欠的两笔债——数据转换瓶颈、工艺损伤清单里的 Walsh——本章一起还。

1. 正弦波不是必须的​

先破一个默认假设。 从 Maxwell 到 5G,无线电的「原料」一直是正弦波 ——平滑、单一频率的振荡。但数字电路造正弦波是个麻烦:芯片里的晶体管 天生只会「开/关」,造平滑的正弦要额外下功夫,而开关产出的方波是现成的。

法国数学家 Hadamard(阿达马) 留下了一条路:用一系列「±1 交替」的 方波函数(它们后来叫 Walsh 函数)可以像正弦波一样充当「原料库」1。 (补充(不在书里,来自通用知识):这套方波积木在数学上与正弦波同样完备—— 任何信号都能拆成它们的叠加、再原样合回去。)

「基」是数学词:一组积木,任何同类的信号都能用这组积木拼出来。 正弦波是一组基(傅里叶的拆法),Walsh 方波是另一组基。 选哪组基,决定「拆-合」这套动作对哪种电路更省。

原书把这层意思点破:造正弦波,可以用方波——而且第 02 章工艺损伤清单里 反复出现的「Walsh 序列」,正是这套原料在 6G 规划里的名字2。 选方波的动机与第 02 章的结论严丝合缝:数字电路造方波是母语,造正弦是外语; 换母语,省的是每一级电路的功耗。

2. 主走查:一只 60mW 的宽带转换器​

现在还第 02 章最大的那笔债:数据转换的三难。 原书团队按 Walsh 路线 做了一只宽带信号转换器,并把它和业界五只旗舰 DAC(数字转模拟转换器, 第 02 章讲的「发射前翻译」)放在同一张表里3:

成果工艺时钟功耗位数采样率
文献[1] (VLSI 2013)28nm4.4GHz360mW139GS/s
文献[2] (VLSI 2019)40nm13.34GHz103mW628GS/s
文献[3] (ISSCC 2015)65nm4.1GHz380mW161.75GS/s
文献[4] (ISSCC 2018)16nm5.2GHz530mW1216GS/s
文献[5] (ISSCC)16nm3.9GHz350mW166GS/s
本作65nm0.75GHz60mW93GS/s

怎么读这张表: 本作用的是表里最老、最便宜的工艺(65nm,2015 年那篇同工艺, 同行功耗 380mW);时钟只有别人的零头(0.75GHz,对比 4-13GHz); 功耗 60mW,是同表其他成员的六分之一到九分之一。 代价也摆在明面上:精度 9 位,低于表里 12-16 位的同行。 这就是 Walsh 路线的取舍:用精度换功耗与时钟——而很多通信场景里, 位数够用就行,省下的电才是刚需。这也是本章标题「数学自救」的实义: 没有换更先进的工艺,换的是信号处理的数学。

判断(我们的,不是书里的): 这张表是全书「能效优先」叙事里 最硬的一块证据,但它比的是各自论文里报告的点成绩,不是同条件实测; 各家的带宽、动态范围口径在表中为空(原书表内也是「-」)。 引用它时要说「同表对比、口径有缺」,不能升级成「同类万能最优」。 如果错,会错在: 如果某个应用恰恰吃精度(16 位起步), 60mW 的 9 位方案对它就不是省电,是不可用。

3. 放大器的非线性怎么治:先拧歪,再扳直​

射频链路的另一个耗电大户是功率放大器(PA,发射前最后一级,把信号推到发射功率)。 PA 有个物理宿命:输出越大越失真——输入翻倍,输出不足两倍,信号被「压弯」。 压弯的后果原书点了名:信号畸变,还会污染相邻信道4。

解法是个漂亮的反向操作,原书给的机制很清楚:拿到 PA 的数学模型, 在数字域先给信号乘上这个模型的「逆」(预拧歪);信号经过 PA, 预拧的歪正好被 PA 的弯抵消,输出是直的5。这套操作叫数字预失真(DPD)。

两个工程细节让 DPD 真的能用:

  • PA 的失真有「记忆」:此刻的输出不只取决于此刻的输入,还拖着前几个时刻的尾巴。 刻画它要用 Volterra 级数(带记忆的非线性幂级数),原书实测它的拟合明显好于 不带记忆的普通幂级数6;团队把 Volterra 级数搬到 Walsh 基下处理,在 LDMOS 工艺 (一种大功率射频晶体管)的 PA 上验证了增益、压缩点与线性(输出和输入成正比、不拐弯)的程度7;

  • 求逆模型要自适应算法。原书这一页也是推测性图注(原文口吻「这张幻灯片可能对比了……」), 图注称:Walsh 基版 WLMS 收敛(一步步逼近答案、最后稳定下来的过程)比 LMS 更快、 计算复杂度(要做的计算量)更低——转述图注,数字未核8。

LMS 是「看误差、小步调」的自适应算法通名;WLMS 是它在 Walsh 基里的版本。 这一小节的产出是一句话:DPD 的「逆模型+自适应」整套,在 Walsh 基下更便宜。

顺带还债:第 02 章损伤清单里「Walsh 序列的上升/下降时间」「积分窗失配」两条, 在这里对上了号——方波原料的边沿陡不陡、「取景框」方不正,正是这套链路自己的 工艺敏感点;原书「在频率域工作」三连页讲的就是用 Walsh 处理把整条射频链 线性化的思路9。

4. HERMES:往 sub-THz 走,信号自己「无镜像」​

频率搬到 120-180GHz(第 02 章的 6G 清单)后,连「造信号」都成了难题。 把数字信号搬到这么高的载频上,常规混频会顺手产出一个「双胞胎」: 镜像频率——一个和真信号对称躺在频谱另一侧的假信号,必须再花滤波和功耗去压它。

原书讲的 HERMES 项目(欧盟 H2020 资助,目标:用 CMOS 工艺做 sub-THz 认知无线电芯片组)押的正是第 01 章介绍过的那只入耳翻译机的通信层10。 技术上有两个值得记住的部件:

  • 宽带生成器与上变频混频:sub-THz 频段的发射链核心,负责把信号抬到载频并抑制镜像11;
  • Hilbert 生成器:用 Hilbert 变换(把信号里每个频率成分都挪相 90 度的数学操作) 直接合成天生没有镜像的信号——省掉整个压镜像的环节12。

「认知无线电」在第 01 章露过面:能自己感知频谱环境、自己调参数的收发机。 在 120-180GHz,频谱环境变化快,「自己调」不是奢侈是必需。

原书这一页只留下一句推测性图注(原文口吻是「图里可能显示了……」,数字在图里): 图注猜的内容是,实现 Hilbert 滤波的卷积窗约几十纳秒即可拿到可接受的抑制效果。 照实标注:此数出自图注推测,原书文字未给,本拆解不当实测参数引用13。

5. 账单:Walsh 路线的收益与代价​

没有免费的午餐。 收益与代价出自同一页推测性图注(原文口吻「这张幻灯片可能涵盖……」): 图注列的收益是复杂度低、能效高,顺带能做信道聚合(把多个窄信道捆成一条宽路处理)——照录图注,不当实测结论; 图注同时给了代价:窗化——用有限长度的窗去逼近 Hilbert 变换,压掉镜像的同时 给信号添了一层噪底(处理过程自己带入的本底噪声)14。

把全章的账并排一摆:

收益代价
方波是数字电路母语,造波省电9 位精度,低于正弦路线的 12-16 位(第 2 节表)
DPD 先拧歪再扳直,PA 可以推得更满要多算一套逆模型与自适应(Volterra/WLMS)
Hilbert 生成器天生无镜像,省滤波窗化带来噪底(本节)

一句话: Walsh 路线是把「精度/灵活性」换成「功耗/集成度」的系统级交易—— 对电池供电的边缘设备,这笔交易通常划算;对精度敏感的场景,它不是答案。

6. 可带走的​

  1. 正弦波是选择不是宿命:Walsh 方波是另一组「基」,数字电路造它省力;
  2. 主走查:65nm/0.75GHz/9 位/3GS/s 的转换器只用 60mW,同表 16nm 同类 350-530mW——省电靠换数学;
  3. PA 非线性用 **DPD(数字预失真)**治:逆模型先拧歪、过放大器正好扳直;记忆效应用 Volterra 级数;
  4. Walsh 基下的自适应算法 WLMS 比 LMS 收敛快、复杂度低;
  5. sub-THz 发射的镜像问题可以用 Hilbert 变换从源头消除,几十纳秒窗长就够;
  6. 代价清单同样真实:精度降、多一套算法、窗化添噪底——这是一笔系统级交易;
  7. HERMES 表明:业界已经在用普通 CMOS 工艺押注 sub-THz 认知无线电。

7. 原文地图​

主题原书章原文位置
数字到射频转换与 Walsh/FourierConnecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:11(搜「Walsh」)
Hadamard 与方波造正弦Connecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:261(搜「Hadamard」)
宽带信号转换器Connecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:267(搜「Wide Band Signal Converter」)
DAC 对比表(本作 60mW)Connecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:294(搜「This Work」)
在频率域工作:线性化Connecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:319(搜「linearizing」)
Walsh 纠非线性、降数字复杂度Connecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:320(搜「non-linear」)
Walsh-DPD 架构Connecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:344(搜「Digital Pre-Distortion」)
DPD 逆模型机制Connecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:354(搜「inverse mathematical model」)
Volterra 与记忆效应Connecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:360(搜「Volterra」)
Walsh 基下的 PA 建模与 LDMOSConnecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:371(搜「LDMOS」)
WLMS vs LMSConnecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:380(搜「WLMS」)
HERMES 项目Connecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:414(搜「HERMES」)
宽带生成器与混频Connecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:425(搜「components like the wide band」)
Hilbert 无镜像生成Connecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:433(搜「Hilbert」)
窗长几十纳秒Connecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:466(搜「size of the convolution」)
Walsh 处理的收益与窗化噪底Connecting Intelligencestext/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:495(搜「noise floor」)

Footnotes​

  1. 出处:「Connecting Intelligences」第 261 段(text/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:261,搜「Hadamard」)。原文:这一页献给 Jacques Hadamard,讨论他用 Hadamard 函数把正弦波转换为方波的工作及其对现代数字通信的影响。 ↩

  2. 出处:「Connecting Intelligences」第 11 段(text/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:11,搜「Walsh」)。原文:让未来通信系统更省能的思路——数字到射频转换,以及用 Fourier 与 Walsh 变换管理时域/频域的切换。 ↩

  3. 出处:「Connecting Intelligences」第 294 段(text/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:294,搜「This Work」)。表格数据:文献[1] 28nm/4.4GHz/360mW/13b/9GS/s;[2] 40nm/13.34GHz/103mW/6b/28GS/s;[3] 65nm/4.1GHz/380mW/16b/1.75GS/s;[4] 16nm/5.2GHz/530mW/12b/16GS/s;[5] 16nm/3.9GHz/350mW/16b/6GS/s;本作 65nm/0.75GHz/60mW/9b/3GS/s。表内带宽一栏为「-」。 ↩

  4. 出处:「Connecting Intelligences」第 344 段(text/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:344,搜「Digital Pre-Distortion」)。原文:Walsh 基 DPD 架构页,讲自适应预失真维持信号完整、防止邻道污染。 ↩

  5. 出处:「Connecting Intelligences」第 354 段(text/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:354,搜「inverse mathematical model」)。原文:X 输入/Y 输出呈现 PA 的非线性;预失真=利用 PA 的逆数学模型在数值上先作用于信号,过 PA 后非线性被补偿、保留线性部分。 ↩

  6. 出处:「Connecting Intelligences」第 360 段(text/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:360,搜「Volterra」)。原文:用 Volterra 级数与记忆效应建模 PA,对比传统幂级数与带记忆方法的拟合曲线。 ↩

  7. 出处:「Connecting Intelligences」第 371 段(text/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:371,搜「LDMOS」)。原文:幂级数/Volterra 级数放进 Walsh 基;LDMOS 工艺 PA 的仿真与实测对比增益、输出压缩点与线性度。 ↩

  8. 出处:「Connecting Intelligences」第 380 段(text/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:380,搜「WLMS」)。原文此页为推测性图注:"This slide likely compares…"——以图注口吻称 WLMS 收敛更快、复杂度更低;数字在图里,本拆解作转述、未核。 ↩

  9. 出处:「Connecting Intelligences」第 319 段(text/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:319,搜「linearizing」)、第 326 段(搜「non-linear」)与第 335 段(搜「dirty RF」)。原文:在频率域用 Walsh 技术增强射频前端、线性化射频链以抵消非线性;用 Walsh 变换直接纠正非线性、降低数字复杂度;对照 CMOS 的「脏射频」与处理后的干净线性输出。 ↩

  10. 出处:「Connecting Intelligences」第 414 段(text/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:414,搜「HERMES」)。原文:HERMES 由欧盟「地平线 2020」资助,目标是用 CMOS 技术做真正 sub-THz 认知无线电性能的芯片组。 ↩

  11. 出处:「Connecting Intelligences」第 425 段(text/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:425,搜「components like the wide band」)。原文:HERMES 射频系统架构聚焦宽带生成器与混频器,承担 sub-THz 的上变频与镜像抑制。 ↩

  12. 出处:「Connecting Intelligences」第 433 段(text/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:433,搜「Hilbert」)。原文:用 Hilbert 变换生成没有频率镜像的信号——镜像在高频通信系统里是麻烦制造者。 ↩

  13. 出处:「Connecting Intelligences」第 466 段(text/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:466,搜「size of the convolution」)。原文为推测性图注:"The graph or table likely displays… illustrating that tens of nanoseconds are optimal"——数字在图里,图注在猜图的内容;本拆解只作图注转述,不当实测参数引用。 ↩

  14. 出处:「Connecting Intelligences」第 495 段(text/09-ch04-chapter-4-connecting-intelligences.txt:495,搜「noise floor」)。原文此页为推测性图注:"It probably covers various applications like channel aggregation…"——收益(复杂度低、能效高、信道聚合)与代价(窗化添噪底)均为图注所述,数字与结论以图为准、未核。 ↩